股指期貨與股票組合的對(duì)沖
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VA：股票組合的當(dāng)前價(jià)值；
VF：一份期貨的當(dāng)前價(jià)值（定義為期貨價(jià)格乘以期貨規(guī)模）。
如果組合是為了跟蹤股票指數(shù)，最優(yōu)對(duì)沖率h*為1.0，由式（3-3）得出需要持有的期貨空頭合約數(shù)量為
例如，某股票組合跟蹤的是標(biāo)普500，價(jià)值為5050000美元。股指的當(dāng)前值為1010，每一份期貨是關(guān)于250美元乘以股指。這時(shí)，VA=5050000和VF=1010×250=252500。因此，對(duì)沖者應(yīng)該持有20份期貨空頭合約來(lái)對(duì)沖這個(gè)股票組合。
當(dāng)股票組合不跟蹤股指時(shí)，我們可以采用資本資產(chǎn)定價(jià)模型（CAPM，見(jiàn)本章附錄）中的β值來(lái)確定持有期貨空頭的數(shù)量。β是將組合超過(guò)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的收益與股票市場(chǎng)超過(guò)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的收益進(jìn)行回歸所產(chǎn)生的最佳擬合直線的斜率。當(dāng)β=1時(shí)，組合收益往往跟蹤市場(chǎng)收益；當(dāng)β=2時(shí)，組合超過(guò)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的收益等于股票市場(chǎng)超過(guò)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益的兩倍；當(dāng)β=0.5時(shí)，組合超過(guò)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的收益等于股票市場(chǎng)超過(guò)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益的一半，等等。
一個(gè)β值等于2.0的組合對(duì)市場(chǎng)的敏感度是一個(gè)β值等于1.0的組合的兩倍。因此，為了對(duì)沖這一組合，我們將需要兩倍數(shù)量的合約。類似地，一個(gè)β值等于0.5的組合對(duì)市場(chǎng)的敏感度是一個(gè)β值等于1.0的組合的一半，因此我們只需要一半數(shù)量的合約來(lái)對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)。一般來(lái)講
當(dāng)股票組合不跟蹤股指時(shí)，我們可以采用資本資產(chǎn)定價(jià)模型（CAPM，見(jiàn)本章附錄）中的β值來(lái)確定持有期貨空頭的數(shù)量。β是將組合超過(guò)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的收益與股票市場(chǎng)超過(guò)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的收益進(jìn)行回歸所產(chǎn)生的最佳擬合直線的斜率。當(dāng)β=1時(shí)，組合收益往往跟蹤市場(chǎng)收益；當(dāng)β=2時(shí)，組合超過(guò)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的收益等于股票市場(chǎng)超過(guò)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益的兩倍；當(dāng)β=0.5時(shí)，組合超過(guò)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的收益等于股票市場(chǎng)超過(guò)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益的一半，等等。
一個(gè)β值等于2.0的組合對(duì)市場(chǎng)的敏感度是一個(gè)β值等于1.0的組合的兩倍。因此，為了對(duì)沖這一組合，我們將需要兩倍數(shù)量的合約。類似地，一個(gè)β值等于0.5的組合對(duì)市場(chǎng)的敏感度是一個(gè)β值等于1.0的組合的一半，因此我們只需要一半數(shù)量的合約來(lái)對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)。一般來(lái)講
在這一公式里，我們假設(shè)期貨合約的到期日與對(duì)沖期限很近。
將式（3-5）與式（3-3）比較，可以得出
=β，該等式對(duì)我們來(lái)講并不意外，對(duì)沖比率
是將組合價(jià)值在一天內(nèi)的百分比變化對(duì)于股指期貨價(jià)格在一天內(nèi)的百分比變化做線性回歸時(shí)的最優(yōu)擬合直線的斜率，β是組合變化對(duì)股指變化做線性回歸時(shí)的最優(yōu)擬合直線的斜率。
我們通過(guò)例子來(lái)說(shuō)明利用這個(gè)公式做對(duì)沖時(shí)的效果很好。假定利用4個(gè)月期限的期貨合約來(lái)對(duì)組合在今后3個(gè)月內(nèi)的價(jià)值進(jìn)行對(duì)沖。假設(shè)
標(biāo)普500股指當(dāng)前值=1000
標(biāo)普500股指期貨價(jià)格=1010
組合價(jià)值=5050000美元
無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率=每年4%
股指票息收益率=每年1%
組合的β=1.5
1份期貨合約是交割250美元乘以股指，因此，VF=250×1010=252500。由式（3-5）得出對(duì)沖組合所需要持有的空頭期貨合約數(shù)量為
將式（3-5）與式（3-3）比較，可以得出
=β，該等式對(duì)我們來(lái)講并不意外，對(duì)沖比率是將組合價(jià)值在一天內(nèi)的百分比變化對(duì)于股指期貨價(jià)格在一天內(nèi)的百分比變化做線性回歸時(shí)的最優(yōu)擬合直線的斜率，β是組合變化對(duì)股指變化做線性回歸時(shí)的最優(yōu)擬合直線的斜率。我們通過(guò)例子來(lái)說(shuō)明利用這個(gè)公式做對(duì)沖時(shí)的效果很好。假定利用4個(gè)月期限的期貨合約來(lái)對(duì)組合在今后3個(gè)月內(nèi)的價(jià)值進(jìn)行對(duì)沖。假設(shè)
標(biāo)普500股指當(dāng)前值=1000
標(biāo)普500股指期貨價(jià)格=1010
組合價(jià)值=5050000美元
無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率=每年4%
股指票息收益率=每年1%
組合的β=1.5
1份期貨合約是交割250美元乘以股指，因此，VF=250×1010=252500。由式（3-5）得出對(duì)沖組合所需要持有的空頭期貨合約數(shù)量為
假定股指在3個(gè)月后為900，期貨價(jià)格為902，期貨空頭的收益為
30×（1010-902）×250=810000（美元）
股指的虧損為10%。股指每年支付1%的股息收益率，或每3個(gè)月0.25%。因此，將股息考慮在內(nèi)時(shí)，股指投資者在3個(gè)月里的收益為-9.75%。由于組合的β是1.5，由資本資產(chǎn)定價(jià)模型得出：
組合的收益期望-無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率=1.5×（股指收益-無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率）
3個(gè)月期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率大約為1%，因此，組合在3個(gè)月內(nèi)的收益期望（%）為
1.0+［1.5×（-9.75-1.0）］=-15.125
因此組合在3個(gè)月后價(jià)值的期望（包括股息）為
5050000×（1-0.15125）=4286187（美元）
在考慮對(duì)沖收益后，對(duì)沖者頭寸價(jià)值的期望值為
4286187+810000=5096187（美元）
表3-4總結(jié)了這些計(jì)算，同時(shí)也對(duì)股指在到期時(shí)可能取的其他數(shù)值進(jìn)行了類似的計(jì)算。我們可以看出，在3個(gè)月后，對(duì)沖者的頭寸幾乎與股指的取值無(wú)關(guān)。
30×（1010-902）×250=810000（美元）
股指的虧損為10%。股指每年支付1%的股息收益率，或每3個(gè)月0.25%。因此，將股息考慮在內(nèi)時(shí)，股指投資者在3個(gè)月里的收益為-9.75%。由于組合的β是1.5，由資本資產(chǎn)定價(jià)模型得出：
組合的收益期望-無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率=1.5×（股指收益-無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率）
3個(gè)月期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率大約為1%，因此，組合在3個(gè)月內(nèi)的收益期望（%）為
1.0+［1.5×（-9.75-1.0）］=-15.125
因此組合在3個(gè)月后價(jià)值的期望（包括股息）為
5050000×（1-0.15125）=4286187（美元）
在考慮對(duì)沖收益后，對(duì)沖者頭寸價(jià)值的期望值為
4286187+810000=5096187（美元）
表3-4總結(jié)了這些計(jì)算，同時(shí)也對(duì)股指在到期時(shí)可能取的其他數(shù)值進(jìn)行了類似的計(jì)算。我們可以看出，在3個(gè)月后，對(duì)沖者的頭寸幾乎與股指的取值無(wú)關(guān)。
表3-4 股指對(duì)沖的表現(xiàn)
在這個(gè)例子中，我們還沒(méi)有討論期貨價(jià)格與即期價(jià)格之間的關(guān)系。在第5章，我們將看到這里所假設(shè)的當(dāng)前期貨價(jià)格1010與我們假設(shè)的利率和股息率是一致的。這一結(jié)論對(duì)于表3-4中3個(gè)月后的期貨價(jià)格也適用。