完美市場假設(shè)下的股指期貨定價(jià)模型
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（一）靜態(tài)持有成本模型
在眾多期貨定價(jià)模型中，持有成本模型（Cost of Carry Model）是最重要也是最基本的模型，被廣泛應(yīng)用于商品期貨和金融期貨的定價(jià)實(shí)踐中。持有成本模型是Cornell & French（1983）在完美市場（Perfect Markets）假設(shè)下，基于一個(gè)套利組合而推導(dǎo)出來的期貨定價(jià)模型，其假設(shè)條件有：（1）資本市場是完美的，即無稅收、無交易成本，不限制賣空且資產(chǎn)是完全可分割的；（2）可以以無風(fēng)險(xiǎn)利率借入及貸出資金，且借、貸利率相同并為一固定常數(shù)；（3）股利的支付已知且為一固定常數(shù)，即無股利不確定風(fēng)險(xiǎn)；（4）期貨和現(xiàn)貨頭寸均持有到期貨合約到期日；（5）無結(jié)算風(fēng)險(xiǎn)。
持有成本是持有成本定價(jià)模型的核心。所謂持有成本，是指投資者為持有某種現(xiàn)貨品種直至相應(yīng)的期貨合約到期時(shí)所必須支付的凈成本，即因融資購買現(xiàn)貨資產(chǎn)而支付的融資成本減去持有現(xiàn)貨資產(chǎn)而取得的收益。就金融期貨而言，持有成本是指為相關(guān)金融資產(chǎn)進(jìn)行融資所支付的凈利息成本。
從理論上講，在股指期貨交易中，由于合約在結(jié)算日才能進(jìn)行交割，因此合約的賣方在交割日前因持有相應(yīng)的股票組合獲得股利的同時(shí)，也放棄了相應(yīng)時(shí)間段的現(xiàn)金收益；而合約的買方因推遲交割在損失了相應(yīng)的股利收入的同時(shí)，則可以獲得因持有現(xiàn)金所得到的利息收入。因此，根據(jù)無套利原理，股指期貨合約的定價(jià)應(yīng)考慮買賣雙方的凈損益。基于以上原理，有以下等式成立：
股指期貨合約的價(jià)格＝現(xiàn)貨價(jià)格+融資成本-股息收益
（4-1）
相應(yīng)地，可以給出持有成本模型所表示的股指期貨的理論價(jià)格為：
式中：
Ft：為在t時(shí)刻購買股指期貨合約的期貨價(jià)格；
St：為t時(shí)刻的股票指數(shù)；
d：為股票組合年均股息紅利收益率；
rf：為無風(fēng)險(xiǎn)收益年利率；
T：為股指期貨合約到期日。
假定投資者持有與股票指數(shù)相對應(yīng)的股票組合，那么從t時(shí)刻開始到T時(shí)刻，持有成本則包含兩部分：一部分為投資于該項(xiàng)股票資產(chǎn)的機(jī)會(huì)成本，即實(shí)際借款成本；另一部分則為投資者從t時(shí)刻開始到T時(shí)刻取得的股息紅利收入。
根據(jù)持有成本模型，股指期貨的價(jià)格主要受到股票現(xiàn)貨指數(shù)水平St、無風(fēng)險(xiǎn)利率水平rf、股票組合股利收益率d以及合約有效期長短（T-t）等因素的影響。其中，無風(fēng)險(xiǎn)利率水平rf和股票組合股利收益率d是關(guān)鍵因素。
如果rf-d＞0，則期貨價(jià)格大于現(xiàn)貨價(jià)格，稱該市場為正向持倉市場（Positive Carry Market）；如果rf-d＜0，則期貨價(jià)格小于現(xiàn)貨價(jià)格，稱該市場為反向持倉市場（Negative Carry Market）。
市場中的套利行為有助于使股指期貨價(jià)格和現(xiàn)貨價(jià)格保持一個(gè)穩(wěn)定的差異，這個(gè)差異就是持有成本。一旦現(xiàn)實(shí)市場中的期貨價(jià)格與其理論價(jià)格不一致，并且超過一定的水平時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)套利機(jī)會(huì)，套利者會(huì)迅速做出反應(yīng)，通過無風(fēng)險(xiǎn)套利使得期貨價(jià)格與現(xiàn)貨價(jià)格恢復(fù)到均衡狀態(tài)。
比如，當(dāng)股指期貨實(shí)際價(jià)格高于理論價(jià)格時(shí)，即Ft＞S t+S t（r f-d）（T-t），投資者可以在股指期貨市場于時(shí)間t賣出股指期貨合約的同時(shí)，在股票市場買入相應(yīng)的指數(shù)組合，并在時(shí)間T進(jìn)行反向操作而獲得無風(fēng)險(xiǎn)收益，這稱之為正向套利策略。相反，當(dāng)股指期貨實(shí)際價(jià)格低于理論價(jià)格時(shí)，即Ft＜S t+S t（r f-d） （T-t），投資者可以在股指期貨市場于時(shí)間t買入股指期貨合約，同時(shí)在股票市場賣出相應(yīng)的指數(shù)組合，并在時(shí)間T進(jìn)行反向操作而獲得無風(fēng)險(xiǎn)收益，這稱之為反向套利策略。
（4-2）
（4-3）
式中：
Ft：為在t時(shí)刻購買股指期貨合約的期貨價(jià)格；
St：為t時(shí)刻的股票指數(shù)；
d：為股票組合年均股息紅利收益率；
rf：為無風(fēng)險(xiǎn)收益年利率；
T：為股指期貨合約到期日。
假定投資者持有與股票指數(shù)相對應(yīng)的股票組合，那么從t時(shí)刻開始到T時(shí)刻，持有成本則包含兩部分：一部分為投資于該項(xiàng)股票資產(chǎn)的機(jī)會(huì)成本，即實(shí)際借款成本；另一部分則為投資者從t時(shí)刻開始到T時(shí)刻取得的股息紅利收入。
根據(jù)持有成本模型，股指期貨的價(jià)格主要受到股票現(xiàn)貨指數(shù)水平St、無風(fēng)險(xiǎn)利率水平rf、股票組合股利收益率d以及合約有效期長短（T-t）等因素的影響。其中，無風(fēng)險(xiǎn)利率水平rf和股票組合股利收益率d是關(guān)鍵因素。
如果rf-d＞0，則期貨價(jià)格大于現(xiàn)貨價(jià)格，稱該市場為正向持倉市場（Positive Carry Market）；如果rf-d＜0，則期貨價(jià)格小于現(xiàn)貨價(jià)格，稱該市場為反向持倉市場（Negative Carry Market）。
市場中的套利行為有助于使股指期貨價(jià)格和現(xiàn)貨價(jià)格保持一個(gè)穩(wěn)定的差異，這個(gè)差異就是持有成本。一旦現(xiàn)實(shí)市場中的期貨價(jià)格與其理論價(jià)格不一致，并且超過一定的水平時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)套利機(jī)會(huì)，套利者會(huì)迅速做出反應(yīng)，通過無風(fēng)險(xiǎn)套利使得期貨價(jià)格與現(xiàn)貨價(jià)格恢復(fù)到均衡狀態(tài)。
比如，當(dāng)股指期貨實(shí)際價(jià)格高于理論價(jià)格時(shí)，即Ft＞S t+S t（r f-d）（T-t），投資者可以在股指期貨市場于時(shí)間t賣出股指期貨合約的同時(shí)，在股票市場買入相應(yīng)的指數(shù)組合，并在時(shí)間T進(jìn)行反向操作而獲得無風(fēng)險(xiǎn)收益，這稱之為正向套利策略。相反，當(dāng)股指期貨實(shí)際價(jià)格低于理論價(jià)格時(shí)，即Ft＜S t+S t（r f-d） （T-t），投資者可以在股指期貨市場于時(shí)間t買入股指期貨合約，同時(shí)在股票市場賣出相應(yīng)的指數(shù)組合，并在時(shí)間T進(jìn)行反向操作而獲得無風(fēng)險(xiǎn)收益，這稱之為反向套利策略。
（二）動(dòng)態(tài)持有成本模型
以上考慮的是間斷時(shí)間下的靜態(tài)持有成本模型。如果假設(shè)時(shí)間是連續(xù)的，即期貨交易的利潤立即被繼續(xù)投資，則可將靜態(tài)模型改寫為動(dòng)態(tài)持有成本模型，如式（4.2、4.3）所示（4-2）
（4-3）
對公式（4.2）進(jìn)行變換，可得到當(dāng)前股價(jià)指數(shù)價(jià)格：
公式（4.3）表明，在持有成本等因素一定的條件下，股指現(xiàn)貨價(jià)格與股指期貨價(jià)格呈正向關(guān)系。此時(shí)，
公式（4.3）表明，在持有成本等因素一定的條件下，股指現(xiàn)貨價(jià)格與股指期貨價(jià)格呈正向關(guān)系。此時(shí)，
為常數(shù)，股指現(xiàn)貨價(jià)格由股指期貨價(jià)格決定。但是，從本質(zhì)關(guān)系上看，股指期貨作為標(biāo)的股價(jià)指數(shù)的衍生產(chǎn)品，其價(jià)格應(yīng)取決于標(biāo)的現(xiàn)貨指數(shù)，且隨現(xiàn)貨指數(shù)的變化而變化；但在實(shí)際市場中，股指期貨價(jià)格對標(biāo)的現(xiàn)貨指數(shù)會(huì)產(chǎn)生重大的影響。
實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)，股指期貨實(shí)際價(jià)格與持有成本定價(jià)模型所估算出的理論價(jià)格之間有顯著差異。Fama & French（1987）對多種標(biāo)的物且期限不同的期貨合約的實(shí)證研究顯示，各合約月度基差的標(biāo)準(zhǔn)差變化范圍在1.5%～22.2%之間。Pindyck（1993）用標(biāo)的資產(chǎn)未來現(xiàn)金流的現(xiàn)值代表便利收益，對持有成本模型進(jìn)行的研究發(fā)現(xiàn)，期貨價(jià)格偏離其理論定價(jià)且無法用便利收益來解釋，從而認(rèn)為出現(xiàn)偏差的原因是由于市場的不完美。Brenner、Subrahoanyam & Uno（1989）的研究認(rèn)為，股指期貨理論定價(jià)和實(shí)際定價(jià)的大部分誤差無法直接由交易成本來解釋，對現(xiàn)貨市場的賣空限制等因素是影響誤差的最大原因。
實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)，股指期貨實(shí)際價(jià)格與持有成本定價(jià)模型所估算出的理論價(jià)格之間有顯著差異。Fama & French（1987）對多種標(biāo)的物且期限不同的期貨合約的實(shí)證研究顯示，各合約月度基差的標(biāo)準(zhǔn)差變化范圍在1.5%～22.2%之間。Pindyck（1993）用標(biāo)的資產(chǎn)未來現(xiàn)金流的現(xiàn)值代表便利收益，對持有成本模型進(jìn)行的研究發(fā)現(xiàn)，期貨價(jià)格偏離其理論定價(jià)且無法用便利收益來解釋，從而認(rèn)為出現(xiàn)偏差的原因是由于市場的不完美。Brenner、Subrahoanyam & Uno（1989）的研究認(rèn)為，股指期貨理論定價(jià)和實(shí)際定價(jià)的大部分誤差無法直接由交易成本來解釋，對現(xiàn)貨市場的賣空限制等因素是影響誤差的最大原因。